{"id":108444,"date":"2026-03-17T04:25:48","date_gmt":"2026-03-17T07:25:48","guid":{"rendered":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/?p=108444"},"modified":"2026-03-17T04:32:15","modified_gmt":"2026-03-17T07:32:15","slug":"por-que-142857-e-um-numero-magico-que-fascina-os-matematicos-ha-seculos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/2026\/03\/17\/por-que-142857-e-um-numero-magico-que-fascina-os-matematicos-ha-seculos\/","title":{"rendered":"Por que 142857 \u00e9 um n\u00famero m\u00e1gico que fascina os matem\u00e1ticos h\u00e1 s\u00e9culos"},"content":{"rendered":"
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142857 \u00e9 um n\u00famero famoso, pelo menos em certos c\u00edrculos… E tamb\u00e9m bastante brincalh\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n

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Ele come\u00e7ou a chamar a aten\u00e7\u00e3o de eminentes matem\u00e1ticos h\u00e1 s\u00e9culos e fascinou estudiosos da teoria dos n\u00fameros.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Os esot\u00e9ricos tamb\u00e9m o apreciaram.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Entre seus entusiastas est\u00e3o ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142857 era “a express\u00e3o num\u00e9rica da vida, da luz e do amor”.<\/p>\n<\/div>\n

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Mas, em um plano mais mundano, tornou-se um cl\u00e1ssico da matem\u00e1tica recreativa.<\/p>\n<\/div>\n

<\/section>\n
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Ele se popularizou gra\u00e7as a figuras como Martin Gardner e Shakuntala Devi \u2014 a calculadora mental indiana conhecida como a “computadora humana” \u2014 que mostraram que qualquer pessoa podia se divertir explorando suas curiosidades.<\/p>\n<\/div>\n

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O n\u00famero chegou inclusive a ter um papel de destaque no romance cult Ratner’s Star<\/i> (A Estrela de Ratner), <\/i>de <\/i>1976, do aclamado autor p\u00f3s-moderno americano Don DeLillo. Na obra, um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via L\u00e1ctea: esses seis d\u00edgitos.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Para os m\u00e1gicos, ele \u00e9 especialmente atraente porque permite surpreender o p\u00fablico, criando a ilus\u00e3o de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes, aproveitando suas peculiares propriedades num\u00e9ricas.<\/p>\n<\/div>\n

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Um dos truques que qualquer um de n\u00f3s pode fazer come\u00e7a pedindo \u00e0 pessoa que voc\u00ea quer impressionar que pegue a calculadora do celular e escreva 10101.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Depois, sem olhar, diga para ela multiplicar esse n\u00famero por qualquer n\u00famero de 1 a 6, dividi-lo por 7 e, em seguida, multiplic\u00e1-lo por 99.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Com absoluta confian\u00e7a, declare que o resultado cont\u00e9m exatamente os d\u00edgitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Mas afinal, o que torna esse n\u00famero t\u00e3o peculiar?<\/p>\n<\/div>\n

\n
A raz\u00e3o matem\u00e1tica de seus atrativos<\/strong><\/h5>\n<\/div>\n
\n
\n
Para come\u00e7ar a descobrir o que h\u00e1 de t\u00e3o surpreendente no 142857, vale a pena multiplic\u00e1-lo.<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n
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N\u00e3o se preocupe: n\u00f3s fazemos isso por voc\u00ea \u2014 basta observar o resultado.<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 1 = 142857<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 2 = 285714<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 3 = 428571<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 4 = 571428<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 5 = 714285<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 6 = 857142<\/p>\n<\/div>\n

\n

Percebeu que todos os resultados cont\u00eam os mesmos d\u00edgitos, apenas em ordem diferente?<\/p>\n<\/div>\n

\n

Nosso n\u00famero \u00e9 composto por seis d\u00edgitos e, ao multiplic\u00e1-lo por cada n\u00famero de 1 a 6, obtemos todas as rota\u00e7\u00f5es poss\u00edveis dessas seis cifras.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Essa propriedade incomum o transforma, em termos matem\u00e1ticos, em um n\u00famero c\u00edclico \u2014 isto \u00e9, um n\u00famero de n <\/i>d\u00edgitos que, ao ser multiplicado por qualquer inteiro de 1 a n<\/i>, produz como resultado uma rota\u00e7\u00e3o de seus pr\u00f3prios d\u00edgitos na mesma ordem circular.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Mas voltemos a observar as multiplica\u00e7\u00f5es, porque h\u00e1 outras peculiaridades.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, o resultado \u00e9 428571.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\u00c9 como se os n\u00fameros estivessem ligados por um fio circular invis\u00edvel: se voc\u00ea cortar esse fio em qualquer ponto, o resultado continua seguindo o padr\u00e3o no sentido hor\u00e1rio.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Nesse caso, \u00e9 como se tiv\u00e9ssemos cortado o fio entre os n\u00fameros 1 e 4, mas os d\u00edgitos que seguem o 4 mant\u00eam a mesma ordem, at\u00e9 completar o c\u00edrculo.<\/p>\n<\/div>\n

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\"Desenho
Cr\u00e9dito,Getty Images \/ BBC<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<\/figure>\n
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Isso acontece com todos: ao multiplic\u00e1-lo por 6, o resultado come\u00e7a com 8 e continua com os n\u00fameros que aparecem ao girar: 5, 7, 1, 4 e 2.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Mas o que acontece se voc\u00ea cruzar o limite e multiplicar 142857 por 7?<\/p>\n<\/div>\n

\n
A magia do 7<\/strong><\/h5>\n<\/div>\n
\n

Se multiplicarmos 142857 por 7, algo surpreendente acontece: o resultado \u00e9 999999.<\/p>\n<\/div>\n

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\u00c9 como se, depois de seis rota\u00e7\u00f5es m\u00e1gicas, o n\u00famero quisesse continuar nos divertindo.<\/p>\n<\/div>\n

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J\u00e1 que estamos falando de noves, podemos at\u00e9 brincar com suas partes:<\/p>\n<\/div>\n

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14 + 28 + 57 = 99<\/p>\n<\/div>\n

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142 + 857 = 999<\/p>\n<\/div>\n

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1428 + 5714 + 2857 = 9999<\/p>\n<\/div>\n

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Deixamos convenientemente de fora 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 porque d\u00e1 27? Sim \u2014 embora, se formos fi\u00e9is ao padr\u00e3o de resultados com o mesmo n\u00famero de d\u00edgitos que a soma, 2 + 7 = 9.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Outra curiosidade \u00e9 que, se voc\u00ea inserir um 9 no centro do n\u00famero, de modo que fique 142 9 857, ao multiplic\u00e1-lo por qualquer n\u00famero de 1 a 6, o produto mant\u00e9m a natureza c\u00edclica, conservando sempre um 9 no centro.<\/p>\n<\/div>\n

\n
\"Ilustra\u00e7\u00e3o<\/div>\n<\/figure>\n
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Voltando a 142857 \u00d7 7, o resultado n\u00e3o \u00e9 casual: est\u00e1 diretamente relacionado ao fato de que 142857 \u00e9 o per\u00edodo decimal de 1\/7, e essa rela\u00e7\u00e3o explica por que seus d\u00edgitos giram com tanta harmonia e por que seu “carrossel” funciona de maneira t\u00e3o perfeita.<\/p>\n<\/div>\n

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Se voc\u00ea dividir 1 por 7, obt\u00e9m:<\/p>\n<\/div>\n

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1 \u00f7 7 = 0,142857142857142857\u2026<\/p>\n<\/div>\n

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Os seis d\u00edgitos (142857) se repetem indefinidamente. Esse bloco repetitivo \u00e9 o que, na teoria dos n\u00fameros, se chama per\u00edodo da fra\u00e7\u00e3o decimal.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Agora vem a chave: quando voc\u00ea divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequ\u00eancia 142857 reaparece sempre, mas come\u00e7ando em um ponto diferente do ciclo.<\/p>\n<\/div>\n

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E ent\u00e3o o ciclo se fecha:<\/p>\n<\/div>\n

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7 \u00f7 7 = 1<\/p>\n<\/div>\n

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Assim, o 999999 que apareceu quando multiplicamos 142857 por 7 n\u00e3o \u00e9 coincid\u00eancia: \u00e9 o eco desse 1, que em linguagem matem\u00e1tica tamb\u00e9m pode ser escrito como 0,999999\u2026<\/p>\n<\/div>\n

\n

Se quiser ver isso em um exemplo mais cotidiano, divida o n\u00famero de dias do ano pelo n\u00famero de dias da semana:<\/p>\n<\/div>\n

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365 \u00f7 7 = 52,142857<\/p>\n<\/div>\n

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A\u00ed est\u00e1 nosso n\u00famero, precedido por 52, que s\u00e3o as semanas de um ano.<\/p>\n<\/div>\n

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Esse 0,142857 adicional equivale a 1 dia.<\/p>\n<\/div>\n

\n

De fato, a cada ano n\u00e3o bissexto, o calend\u00e1rio “avan\u00e7a” um dia da semana. Por exemplo: se um ano come\u00e7a numa segunda-feira, o seguinte come\u00e7ar\u00e1 numa ter\u00e7a-feira.<\/p>\n<\/div>\n

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Se quiser ver essa rela\u00e7\u00e3o entre 7 e 142857 ao contr\u00e1rio, aqui est\u00e1:<\/p>\n<\/div>\n

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1 \u00f7 142857 = 0,000007000007\u2026<\/p>\n<\/div>\n

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Muito al\u00e9m do 7<\/strong><\/h5>\n<\/div>\n
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Ser\u00e1 que a brincadeira acaba se passarmos do 7?<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 8 = 1142856<\/p>\n<\/div>\n

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\u00c0 primeira vista, parece que sim. Mas, se pegarmos o resultado, separarmos o primeiro d\u00edgito e o somarmos ao restante, obtemos:<\/p>\n<\/div>\n

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1 + 142856 = 142857 \u2014 o n\u00famero original, come\u00e7ando pelo menor d\u00edgito.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Pode parecer um pouco for\u00e7ado, mas acontece que, se continuarmos fazendo o mesmo, o n\u00famero c\u00edclico aparece repetidamente, come\u00e7ando sempre por seus d\u00edgitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8):<\/p>\n<\/div>\n

\n

142857 \u00d7 9 = 1285713 \u2192 1 + 285713 = 285714<\/p>\n<\/div>\n

\n

142857 \u00d7 10 = 1428570 \u2192 1 + 428570 = 428571<\/p>\n<\/div>\n

\n

142857 \u00d7 11 = 1571427 \u2192 1 + 571427 = 571428<\/p>\n<\/div>\n

\n

E assim continua, at\u00e9 chegar a:<\/p>\n<\/div>\n

\n

142857 \u00d7 14 = 1999998<\/p>\n<\/div>\n

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1 + 999998 = 999999<\/p>\n<\/div>\n

\n

Algo parecido acontece ao multiplicar por 21 (2 999 997 \u2192 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35\u2026<\/p>\n<\/div>\n

\n

Enfim, voc\u00ea provavelmente j\u00e1 percebeu o padr\u00e3o: todos s\u00e3o m\u00faltiplos de 7.<\/p>\n<\/div>\n

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\"Ilustra\u00e7\u00e3o<\/div>\n<\/figure>\n
\n

Os matem\u00e1ticos da matem\u00e1tica recreativa foram ainda mais longe para ver se conseguem voltar ao n\u00famero original.<\/p>\n<\/div>\n

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Um exemplo, entre muitos, \u00e9:<\/p>\n<\/div>\n

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142857 \u00d7 142857 = 20408122449<\/p>\n<\/div>\n

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Marcando 6 d\u00edgitos (n<\/i>) a partir da direita e somando o restante:<\/p>\n<\/div>\n

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122449 + 20408 = 142857<\/p>\n<\/div>\n

\n

Se isso parece pouco\u2026<\/p>\n<\/div>\n

\n

142857 \u00d7 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952<\/p>\n<\/div>\n

\n

E, usando o mesmo m\u00e9todo de pegar grupos de 6 d\u00edgitos a partir da direita:<\/p>\n<\/div>\n

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183952 + 040260 + 918644 = 1142856<\/p>\n<\/div>\n

\n

Como o resultado passa de 6 d\u00edgitos, fazemos:<\/p>\n<\/div>\n

\n

1 + 142856 = 142857<\/p>\n<\/div>\n

\n

Em resumo, por maior ou mais complicada que seja a trajet\u00f3ria, 142857 sempre encontra o caminho de volta.<\/p>\n<\/div>\n

\n
S\u00f3 eles?<\/strong><\/h5>\n<\/div>\n
\n

Embora 7 e 142857 sejam especiais, n\u00e3o s\u00e3o \u00fanicos.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Muitos outros j\u00e1 foram encontrados, embora n\u00e3o se saiba quantos existam ao todo.<\/p>\n<\/div>\n

\n

O que se sabe \u00e9 que, entre todos, 142857 se destaca n\u00e3o apenas por ser o primeiro que normalmente encontramos, mas tamb\u00e9m por ser o \u00fanico que n\u00e3o come\u00e7a com zero.<\/p>\n<\/div>\n

\n

O pr\u00f3ximo n\u00famero c\u00edclico que aparece \u00e9 0588235294117647, que \u00e9 o resultado de dividir 1 por 17.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Seus 16 d\u00edgitos comportam-se de maneira semelhante: ao multiplic\u00e1-los por qualquer n\u00famero de 1 a 16, o produto \u00e9 sempre uma rota\u00e7\u00e3o c\u00edclica desses mesmos d\u00edgitos, apenas com um “carrossel” mais longo.<\/p>\n<\/div>\n

\n

E quando o multiplicamos por 17, o resultado \u00e9 9999999999999999 \u2014 isto \u00e9, 16 noves, assim como 142857 \u00d7 7 produz seis noves.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Repare em algo que os caracteriza: a quantidade de d\u00edgitos que comp\u00f5em um n\u00famero c\u00edclico \u00e9 sempre um a menos que o n\u00famero que o gera.<\/p>\n<\/div>\n

\n

O gerado pelo 7 tem 6 d\u00edgitos.<\/p>\n<\/div>\n

\n

O gerado pelo 17 tem 16 d\u00edgitos.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Outra particularidade fundamental aparece quando observamos os n\u00fameros menores que 100 que geram n\u00fameros c\u00edclicos:<\/p>\n<\/div>\n

\n

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Todos s\u00e3o n\u00fameros primos (apenas divis\u00edvel por 1 e por si pr\u00f3prio).<\/p>\n<\/div>\n

\n

Embora nem todos os n\u00fameros primos produzam um n\u00famero c\u00edclico, todos os n\u00fameros c\u00edclicos nascem de um primo.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Para ter essa “capacidade de criar” n\u00fameros c\u00edclicos, o n\u00famero primo precisa cumprir uma propriedade especial: ao dividir 1 por ele, deve-se obter uma sequ\u00eancia repetitiva de d\u00edgitos cuja extens\u00e3o \u00e9 exatamente um a menos que o valor do n\u00famero.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Gra\u00e7as a isso, os d\u00edgitos podem girar em um carrossel perfeito, sem que nenhum desapare\u00e7a ou se repita antes da hora. Esse \u00e9 o segredo que garante que cada d\u00edgito tenha seu lugar e que o ciclo nunca se rompa.<\/p>\n<\/div>\n

\n

At\u00e9 hoje, os n\u00fameros c\u00edclicos n\u00e3o t\u00eam aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas diretas em engenharia, finan\u00e7as ou ci\u00eancia aplicada, mas j\u00e1 foram \u00fateis em \u00e1reas como a teoria dos n\u00fameros, a criptografia te\u00f3rica e a teoria da codifica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Entre as fontes consultadas para este texto est\u00e3o o cap\u00edtulo 10 do livro “<\/i>Mathematical Circus<\/i><\/a><\/span>“<\/i>, de Martin Gardner<\/i>, e o site <\/i>Math1089<\/i>.<\/i><\/p>\n

Cr\u00e9dito: <\/strong>Dalia Ventura \/ <\/span><\/span>BBC News Mundo – @ dispon\u00edvel na internet 17\/3\/2026<\/span><\/strong><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

142857 \u00e9 um n\u00famero famoso, pelo menos em certos c\u00edrculos… E tamb\u00e9m bastante brincalh\u00e3o. Ele come\u00e7ou a chamar a aten\u00e7\u00e3o de eminentes matem\u00e1ticos h\u00e1 s\u00e9culos e fascinou estudiosos da teoria dos n\u00fameros. Os esot\u00e9ricos tamb\u00e9m o apreciaram. Entre seus entusiastas est\u00e3o ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142857 era “a express\u00e3o num\u00e9rica da vida, da luz e […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":108445,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[133],"tags":[],"class_list":{"0":"post-108444","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-destaques"},"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/142857.jpg?fit=1200%2C675&ssl=1","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/108444","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=108444"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/108444\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":108446,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/108444\/revisions\/108446"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/media\/108445"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=108444"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=108444"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/asmetro.org.br\/portalsn\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=108444"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}